解と係数の関係の話

数Ⅱに「解と係数の関係」というものがあるんですが、通っている高専では二年生の頃の今頃やるというので、やってみた。

ax² + bx + c = 0  (a≠0)の二つの解をα , βにする。そしてax² + bx + cから考えると以下の通りになる。

まあなんてことない普通なこと。実はこれには応用があって三次方程式の解と係数も求めることができる。

手順は

①ax³ + bx² + cx + d = 0  (a≠0) の両辺をaで割って解をα , β , γとして(x - α)(x - β)(x - γ)

②展開するとx³ - ( α + β + γ )x² + (αβ + βγ + αγ)x - αβγ

③比較するとα + β + γ = -b/a , αβ + βγ + αγ = c/a , αβγ= - d/a

この時見てわかる通りα + β + γ , αβ + βγ + αγ , αβγ の三つは3変数の基本対象式※₁になっている。

さっき対称式の問題を解いて思ったのは対称式は対称なままに形変えた方がやりやすいかなーと思った。

※₁基本対象式っていうのは x + y や xy のように全ての対称式の基礎になるみたいな感じの対称式。